...
4.4 Binaire getallen
In deze paragraaf gaan we rekenen met binaire getallen. Of beter gezegd gaan we ‘gewone‘ getallen omzetten naar binair of andersom. Misschien dat je dit nooit nodig hebt, maar dat doet er niet toe. Het gaat er om dat je met rekenen bezig bent. En ook hier heb je veel rekenvaardigheden nodig.

Maar eerst het volgende :

Getallen schrijven als machten van 10

In hoofdstuk 1 heb je al gezien dat wij een positioneel getallenstelsel hebben. Dat wil dus zeggen dat de waarde van een cijfer in een getal afhankelijk is van de positie die het inneemt. Zo is in het getal 190247 de 2 bijvoorbeeld 200 waard en is de 9 in dit geval 90 000 waard.

In dit hoofdstuk heb je geleerd om te rekenen met machten die 10 als grondtal hebben.

Verder heb je in dit hoofdstuk ook geleerd dat een getal tot de macht 1 het getal zelf is en dat ieder getal tot de macht 0 gelijk is aan 1.

Voor een combinatie van deze eigenschappen geldt dan de volgende regel:

Ieder getal kan geschreven worden als de som van machten met grondtal 10

voorbeelden:
854 = 800 + 50 + 4 = 8 x 102 + 5 x 101 + 4 x 100

3607 = 3000 + 600 + 0 + 7 = 3 x 103 + 6 x102 + 0 x 101 + 7 x 100
Opgave 4.07
Schrijf de volgende getallen als machten met grondtal 10
Er was een speciale reden om getallen als machten van 10 te schrijven zoals in vorige paragraaf.Het omzetten naar binaire getallen gaat namelijk op soortgelijke wijze.

Wij vinden ons decimale (tientallige) stelsel heel gewoon. We weten immers niet beter. Toch bestaan er ook andere getallenstelsels. Bijvoorbeeld het twee-tallig stelsel. Het twee-tallig bevat maar twee cijfers: de 0 en de 1. Alle getallen worden dus uitgedrukt in nullen en enen.

Dit getallenstelsel heet een binair getallenstelsel.
De getallen noemen we binaire getallen.

Computers, rekenmachines en andersoortige rekenchips kunnen alleen maar rekenen met binaire getallen. De schakelingen in een (computer)chip hebben twee mogelijkheden: aan of uit. Dat staat gelijk aan 1 of 0. In bijvoorbeeld een rekenmachientje voeren wij een ‘gewoon’ getal in. Het machientje zet dit om naar een binair getal en berekent de waarde. Dan wordt het binaire getal weer omgezet naar een voor ons bekend getal dat we vervolgens weer van het schermpje kunnen aflezen.

Maar zelf kunnen we ook rekenen met binaire getallen. Dit doen we op eenzelfde soort manier als de laatste opgave. Alleen gebruiken we nu machten met grondtal 2.

Ieder binair getal kan omgerekend worden naar een decimaal getal als de som van machten met grondtal 2

Heel curieus is het dat een aantal eeuwen geleden het binaire stelsel al werd ontwikkeld door Baron Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716). Behalve briljant wiskundige, verantwoordelijk voor veel van de wiskunde die we heden ten dage bedrijven, was hij ook filosoof, historicus, linguïst en theoloog.

Hij ontwikkelde het binaire stelsel, maar met heel andere doeleinden dan waar het nu voor wordt gebruikt. Leibniz was een zeer gelovig mens en wilde met het binaire stelsel het bestaan van God aantonen. Met behulp van de binaire rekenkunde wilde hij bewijzen dat de Heer, de Almachtige het Universum uit het niets heeft geschapen. Dat is hem niet gelukt, anders hadden we dat toch wel geweten.

Hoewel deze briljante Leibniz het grootste deel van zijn leven een belangrijk en gerespecteerd man was, die in de hoogste kringen verkeerde, stierf hij zeer arm en zeer eenzaam.

Als hij toch maar enigszins had kunnen vermoeden hoe belangrijk zijn ‘uitvinding’ was. Onze hele digitale maatschappij is gebaseerd op het binaire stelsel. Zonder binair getallenstelsel geen computers

Opgave 4.08
Bereken eerst de volgende machten met grondtal 2

Schrijf deze machten op een kaartje, om met binaire getallen te rekenen is het handig dit lijstje altijd bij de hand te hebben.

Inhoud Hoofdstukken  |   Inhoud H4  |   naar boven  |   vorige  |   vervolg