...
2.8 Rekenkundige rijen
Een rekenkundige rij is een rij getallen met een bepaalde regelmaat.
Dat wil zeggen ieder volgend getal in de rij ontstaat uit de voorafgaande door er een vast getal bij op te tellen. Voorbeelden van rijen zijn:

2, 4, 6, 8, 10, 12, … … … steeds 2 erbij
3, 6, 9, 15, 18, … … … steeds 3 erbij
24, 31, 38, 45, 52, … … … steeds 7 erbij

De getallen in een rij noemen we termen.

Met de termen van een rekenkundige rij kunnen we op relatief eenvoudige wijze berekeningen uitvoeren.
Bijvoorbeeld alle termen bij elkaar optellen, een deel van de termen bij elkaar optellen of een bepaalde term, bijvoorbeeld de 18e term in een rij, berekenen. Laten we eens naar een eenvoudig overzichtelijk voorbeeld kijken.

voorbeeld:
We nemen de rij: { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 } en willen de som van alle termen berekenen.
zet daartoe de getallen op een rijtje:
zet het rijtje er achterstevoren nog eens onder
tel de bovenste en onderste getallen bij elkaar op, er komt steeds 22 uit
10 x 22 = 220 (er zijn 10 getallen)
omdat we de rijen dubbel hebben geteld moet er door 2 worden gedeeld
220 : 2 = 110, en zo is de som van alle termen van de rij 110
Ik hoor je denken: “Tjonge tjonge, moet dat zo moeilijk, dat had ik ook uit mijn hoofd kunnen doen.”
Ja, dat is misschien waar.

Ik probeer echter naar een formule toe te werken die voor iedere willekeurige rij geldt.
Ook voor rijen met lastige getallen. Probeer het voorbeeld daarom goed te begrijpen voordat je verder gaat.

Een term van een rij noemen we vanaf nu t. De term op de eerste positie noemen we t1, de tweede term t2, enzovoort.

Wat in het voorbeeld in feite is gedaan:
de eerste term opgeteld bij de laatste, de tweede term opgeteld bij de één na de laatste
zo verder totdat alle termen aan de beurt zijn geweest

Daar zal altijd hetzelfde uitkomen (in het voorbeeld 22). Ongeacht hoe de rekenkundige rij er uitziet.

Maar omdat bijvoorbeeld 4+18 gelijk is aan 18+4, is er dus dubbel geteld. En daarom moet er nog door twee worden gedeeld.

Als je nu begrijpt dat de kleine optellinkjes altijd hetzelfde zullen zijn is het niet zo zinvol om die rijen helemaal uit te schrijven, van voor naar achter en van achter naar voor.
De rij zal maar duizend termen hebben.

We kunnen dus meteen net zo goed de eerste plus de laatste term nemen en dan door 2 delen.
In het geval van het voorbeeld wordt dat dan

Omdat het om tien termen gaat wordt het

Zoals je ziet had je de som van de rij met heel weinig rekenwerk kunnen berekenen

We kunnen dit algemener opschrijven:

Vaak weten we echter niet uit hoeveel termen een rij bestaat, is ook niet altijd interessant om te weten, zo’n rij kan wel doorgaan tot in het oneindige en zijn we alleen geïnteresseerd in bijvoorbeeld de eerste 50 termen.

Daarom hebben we nog een algemenere formule nodig om de som van een (deel)rij te berekenen.
De som van de termen noemen we s. Het aantal termen noemen we n.

Dan wordt de algemene formule: Wel, als dat geen mooie indrukwekkende formule is.

Let op dat je
- eerst t1+tn berekent - dan deelt door 2 - en tot slot vermenigvuldigt met n
Dat heeft met rekenregels te maken. Komt in een volgend hoofdstuk aan de orde.

Opgave 2.21
Neem de rij uit het voorbeeld en bereken de som van de eerst vijf termen.
Dus n=5. Dit is makkelijk te controleren, kun je zelf zo nagaan.
Kijk of je formule goed hebt toegepast.
Opgave 2.22
Bereken de som van de even getallen van 1 t/m 100. Let op: n=50.
Opgave 2.23
Bereken de som van de oneven getallen onder de 100
Opgave 2.24
Bereken de som van de uitkomsten van de tafel van 7.

Tot zover de rekenkundige rijen.
In volgende hoofdstukken komen we hier nog een aantal malen op terug.

Inhoud Hoofdstukken  |   Inhoud H2  |   naar boven  |   vorige  |   vervolg